안녕하세요. 설근입니다.
회전운동의 왕인 자이 로스코프와 팽이에 대해서 알아보겠습니다 물리학과 2학년이 배우는 역학 과목에서도 강체 회전에 관련된 내용을 수학적으로 어렵게 다루는데, 그때 자이로스코프나 기울어진 팽이 같은 것들이 나옵니다. 어려워요.
팽이의 회전 모습을 보면 팽이가 처음에 빨리 회전할 때는 똑바로 서 있어요. 회전축은 지면과 수직의 축 그대로입니다. 그러나 점점 늦어지게 되면 팽이의 회전축이 기울어져 회전을 하게 됩니다. 그리고 그 회전축 자체도 회전합니다. (원뿔을 그리며)이런것을 세차운동*이라고 합니다.
그런데 기울어져도 팽이는 여전히 돌아갑니다. 위험해 보이지만 팽이는 넘어지지 않습니다. 도대체 왜 쓰러지지 않는 걸까요? 다음 그림 보시죠
위 그림처럼 팽이가 기울어진 채로 회전하는 순간을 생각해봅시다 팽이의 질량 중심에 중력 Mg가 작용하여 팽이가 바닥에 닿아있기 때문에 팽이가 바닥을 받치는 힘인 수직항력 N이 작용합니다. 팽이를 기울이는 토크를 생각하기 위해 먼저 팽이가 기울어지는 회전을 할 때의 회전축은 어디일까요? 팽이 끝에 O점입니다. 그리고 토크를 만드는 힘은 질량 중심으로 작용하는 중력이기 때문에 팔의 길이 r은 O 점에서 질량 중심까지입니다.그러면 이때 'r×Mg'을 하게 되면 이것이 바로 토크의 방향이 되는데 그 방향은 위 그림과 같이 빨간색으로 표시되는 방향입니다.
팽이가 회전이 안 되는 상황이면 팽이가 기울면 무조건 넘어져요. 그런데 팽이가 회전하고 있습니다. 그렇다고 하는 것은, 팽이가 각운동량 L을 가지고 있다는 것을 의미합니다.
그림을 그려보면 위와 같습니다. 여기서 회색 원추는 팽이의 형태가 아니라 팽이의 회전축이 z축을 회전축으로 회전하는 궤적을 그린 것입니다. 팽이의 축이 회전하는 겁니다. (세차운동을 표현한것) 이때 팽이가 각운동량을 가진채로 팽이의 회전축이 회전하는데 그말은 팽이의 각운동량의 방향이 점점 바뀐다는 뜻입니다.(말의 각 운동량의 크기는 일정하다고 합시다) 따라서 각 운동량이 변하는 변화량을 δL 이라고 하면 위와 같이 빨간색으로 표시할 수 있습니다.
그럼 지금까지 생각한 아이디어를 정리하면 다음과 같습니다.팽이는 자신의 회전축을 가지고 회전운동하기 때문에 각운동량을 가지고 있는데 팽이의 회전축이 z축을 회전축으로 하여 회전운동하는데 이것을 세차운동이라고 한다.팽이의 각운동량 방향은 팽이의 회전축 방향과 같지만 팽이의 회전축이 세차운동하고 있으므로 팽이의 각운동량 방향은 원추궤적을 그리면서 바뀐다.이때 위 그림과 같이 z축에서 보았을 때 시계반대방향으로 팽이도 회전하고 팽이의 회전축도 회전한다면 각운동량의 변화량은 위 그림에서 δL 로 적색으로 표시한 방향이다.팽이는 중력을 받기 때문에 토크를 받는데, 그 토크의 방향도 위에서 표시한 것과 같은 방향이다.
그리고 토크와 각 운동량의 관계를 생각하면
이식이 생각나요 이 식의 의미는 토크가 각 운동량의 변화를 만든다는 의미입니다.dt라는 순간적인 시간 동안 각운동량의 변화 dL을 만든다는 의미입니다. 이것을 그림으로 그려 보면 다음과 같습니다.
팽이의 각운동량이 L_i에서 L_f로 바뀔 때 그 변화량 dL과 の의 방향이 같다는 뜻입니다. 각 운동량 변화는 토크를 따라간대요 아무튼여기서.
각 운동량이 바뀐 각도를 dφ이라고 하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다. 여기서 L_i와 L_f의 크기가 동일하다면
호의 길이 = 반경, 각도이므로 dL = Ldφ을 이용하여 상기와 같이 전개가 가능합니다. 여기서의 토크는 중력에 의한 토크입니다.
그러면 dt를 왼쪽 변으로 옮겨주시면
이렇게 각속도를 구할 수 있는데, 여기서 구한 ω_p는 각속도가 아니라, 각속도의 회전축이 회전하는 각속도, 즉 세차운동에서의 각속도입니다. ω 손톱의 각속도에요. 왜냐하면, 각운동량 L은 각운동량이기 때문에 L=Iω은 각의 관성모멘트와 각의 속도를 대입해야하기 때문이에요.
그런데 이 결과는 ω >>p일 때 성립됩니다. 이 때 위의 식을 살펴보면, 팽이의 각 속도가 커질수록 세차 운동의 각 속도는 작아지는 것을 알 수 있습니다. 그렇다는 것은 팽이가 빨리 회전할수록 더 안정된 운동을 한다는 것입니다.
이렇게회전운동의끝부분까지살펴봤고,제가참고하는교과서의회전운동단원까지다끝났습니다.마지막으로 계의 정적 평형 파트에 대해서 말씀드리자면, 4월부터 시작된 프로젝트가 끝납니다.
